{l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-2$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

2x+1 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

y-3 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+3-5y+15=1$$

15 માં 3 ઍડ કરો.

$$6x-5y+18=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 18 નો ઘટાડો કરો.

$$6x-5y=-17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$6x=5y-17$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

5y-17 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3 માં x માટે \frac{5y-17}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

\frac{5y-17}{6} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

1 માં \frac{17}{6} ઍડ કરો.

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

\frac{-5y+23}{6} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

2y+1 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

-8y માં -\frac{25y}{6} ઍડ કરો.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

-4 માં \frac{115}{6} ઍડ કરો.

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{91}{6} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{73}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5-17}{6}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{6} માં -\frac{17}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-2,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

પ્રથમ સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

2x+1 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

y-3 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+3-5y+15=1$$

15 માં 3 ઍડ કરો.

$$6x-5y+18=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 18 નો ઘટાડો કરો.

$$6x-5y=-17$$

બીજા સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

-x+1 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

2y+1 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5x+5-8y-4=3$$

-4 માં 5 ઍડ કરો.

$$-5x-8y+1=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$-5x-8y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-2,y=1$$