{l}{3=-4+2b+c}{-5=-16+4b+c} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 = - 4 + 2 b + c } \\ { - 5 = - 16 + 4 b + c } \end{array} \right.$$

b, c માટે ઉકેલો

$$b=2$$

$$c=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$-4+2b+c=3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$2b+c=3+4$$

7મેળવવા માટે 3 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$2b+c=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$-16+4b+c=-5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 16 ઍડ કરો.

$$4b+c=-5+16$$

11મેળવવા માટે -5 અને 16 ને ઍડ કરો.

$$4b+c=11$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2b+c=7,4b+c=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને b ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને b માટે ઉકેલો.

$$2b+c=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી c નો ઘટાડો કરો.

$$2b=-c+7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=\frac{1}{2}\left(-c+7\right)$$

-c+7 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$b=-\frac{1}{2}c+\frac{7}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4b+c=11 માં b માટે \frac{-c+7}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{1}{2}c+\frac{7}{2}\right)+c=11$$

\frac{-c+7}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2c+14+c=11$$

c માં -2c ઍડ કરો.

$$-c+14=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 14 નો ઘટાડો કરો.

$$-c=-3$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$c=3$$

b=-\frac{1}{2}c+\frac{7}{2}માં c માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું b માટે ઉકેલો.

$$b=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

3 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$b=\frac{-3+7}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{3}{2} માં \frac{7}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$b=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$b=2,c=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$-4+2b+c=3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$2b+c=3+4$$

7મેળવવા માટે 3 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$2b+c=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$-16+4b+c=-5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 16 ઍડ કરો.

$$4b+c=-5+16$$

11મેળવવા માટે -5 અને 16 ને ઍડ કરો.

$$4b+c=11$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2b+c=7,4b+c=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}\times 11\\2\times 7-11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો b અને c ને કાઢો.

$$b=2,c=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$-4+2b+c=3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$2b+c=3+4$$

7મેળવવા માટે 3 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$2b+c=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બાજુઓને સ્વેપ કરો જેથી બધા ચલ પદો ડાબા હાથ બાજુએ હોય.

$$-16+4b+c=-5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 16 ઍડ કરો.

$$4b+c=-5+16$$

11મેળવવા માટે -5 અને 16 ને ઍડ કરો.

$$4b+c=11$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2b+c=7,4b+c=11$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2b+c=7માંથી 4b+c=11 ને ઘટાડો.

$$2b-4b+c-c=7-11$$

-c માં c ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો c અને -c ને વિભાજિત કરો.

$$2b-4b=7-11$$

-4b માં 2b ઍડ કરો.

$$-2b=7-11$$

-11 માં 7 ઍડ કરો.

$$-2b=-4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=2$$

4b+c=11માં b માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું c માટે ઉકેલો.

$$4\times 2+c=11$$

2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$8+c=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$c=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$b=2,c=3$$