{l}{25x+110y=6100}{x+y=50} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{120}{17} = -7\frac{1}{17} \approx -7.058823529$$

$$y = \frac{970}{17} = 57\frac{1}{17} \approx 57.058823529$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$25x+110y=6100$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 110y નો ઘટાડો કરો.

$$25x=-110y+6100$$

બન્ને બાજુનો 25 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{25}\left(-110y+6100\right)$$

-110y+6100 ને \frac{1}{25} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{22}{5}y+244$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=50 માં x માટે -\frac{22y}{5}+244 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{22}{5}y+244+y=50$$

y માં -\frac{22y}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{17}{5}y+244=50$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 244 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{17}{5}y=-194$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{17}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{970}{17}$$

x=-\frac{22}{5}y+244માં y માટે \frac{970}{17} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{22}{5}\times \frac{970}{17}+244$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{22}{5} નો \frac{970}{17} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{4268}{17}+244$$

-\frac{4268}{17} માં 244 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{120}{17}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-110}&-\frac{110}{25-110}\\-\frac{1}{25-110}&\frac{25}{25-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}&\frac{22}{17}\\\frac{1}{85}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{85}\times 6100+\frac{22}{17}\times 50\\\frac{1}{85}\times 6100-\frac{5}{17}\times 50\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{120}{17}\\\frac{970}{17}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$25x+110y=6100,x+y=50$$

25x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 25 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$25x+110y=6100,25x+25y=25\times 50$$

સરળ બનાવો.

$$25x+110y=6100,25x+25y=1250$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 25x+110y=6100માંથી 25x+25y=1250 ને ઘટાડો.

$$25x-25x+110y-25y=6100-1250$$

-25x માં 25x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 25x અને -25x ને વિભાજિત કરો.

$$110y-25y=6100-1250$$

-25y માં 110y ઍડ કરો.

$$85y=6100-1250$$

-1250 માં 6100 ઍડ કરો.

$$85y=4850$$

બન્ને બાજુનો 85 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{970}{17}$$

x+y=50માં y માટે \frac{970}{17} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+\frac{970}{17}=50$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{970}{17} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{120}{17}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{120}{17},y=\frac{970}{17}$$