{l}{20+x+y=115}{11x=8y} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=40$$

$$y=55$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો.

$$x+y=115-20$$

95 મેળવવા માટે 115 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$x+y=95$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 8y ઘટાડો.

$$11x-8y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=95$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+95$$

અન્ય સમીકરણ, 11x-8y=0 માં x માટે -y+95 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

-y+95 ને 11 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-11y+1045-8y=0$$

-8y માં -11y ઍડ કરો.

$$-19y+1045=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1045 નો ઘટાડો કરો.

$$-19y=-1045$$

બન્ને બાજુનો -19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=55$$

x=-y+95માં y માટે 55 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-55+95$$

-55 માં 95 ઍડ કરો.

$$x=40$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=40,y=55$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો.

$$x+y=115-20$$

95 મેળવવા માટે 115 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$x+y=95$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 8y ઘટાડો.

$$11x-8y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=40,y=55$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો.

$$x+y=115-20$$

95 મેળવવા માટે 115 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$x+y=95$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 8y ઘટાડો.

$$11x-8y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=95,11x-8y=0$$

x અને 11x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 11 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

સરળ બનાવો.

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 11x+11y=1045માંથી 11x-8y=0 ને ઘટાડો.

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

-11x માં 11x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 11x અને -11x ને વિભાજિત કરો.

$$11y+8y=1045$$

8y માં 11y ઍડ કરો.

$$19y=1045$$

બન્ને બાજુનો 19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=55$$

11x-8y=0માં y માટે 55 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$11x-8\times 55=0$$

55 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$11x-440=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 440 ઍડ કરો.

$$11x=440$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=40$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=40,y=55$$