{l}{2y=5x}{3x=2y+1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 5 x } \\ { 3 x = 2 y + 1 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$2y-5x=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-2y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2y-5x=0,-2y+3x=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$2y-5x=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5x ઍડ કરો.

$$2y=5x$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{2}\times 5x$$

5x ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{5}{2}x$$

અન્ય સમીકરણ, -2y+3x=1 માં y માટે \frac{5x}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\times \frac{5}{2}x+3x=1$$

\frac{5x}{2} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5x+3x=1$$

3x માં -5x ઍડ કરો.

$$-2x=1$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

y=\frac{5}{2}xમાં x માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{2} નો -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-\frac{5}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{5}{4},x=-\frac{1}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$2y-5x=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-2y=1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2y-5x=0,-2y+3x=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{2\times 3-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-\left(-5\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&-\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{5}{4},x=-\frac{1}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$2y-5x=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x-2y=1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2y-5x=0,-2y+3x=1$$

2y અને -2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 2y-2\left(-5\right)x=0,2\left(-2\right)y+2\times 3x=2$$

સરળ બનાવો.

$$-4y+10x=0,-4y+6x=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -4y+10x=0માંથી -4y+6x=2 ને ઘટાડો.

$$-4y+4y+10x-6x=-2$$

4y માં -4y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -4y અને 4y ને વિભાજિત કરો.

$$10x-6x=-2$$

-6x માં 10x ઍડ કરો.

$$4x=-2$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

-2y+3x=1માં x માટે -\frac{1}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-2y+3\left(-\frac{1}{2}\right)=1$$

-\frac{1}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y-\frac{3}{2}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3}{2} ઍડ કરો.

$$-2y=\frac{5}{2}$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{5}{4},x=-\frac{1}{2}$$