{l}{2y+3x=7-5}{3x-8y=175} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y + 3 x = 7 - 5 } \\ { 3 x - 8 y = 175 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = \frac{61}{5} = 12\frac{1}{5} = 12.2$$

$$y = -\frac{173}{10} = -17\frac{3}{10} = -17.3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2y+3x=2,-8y+3x=175$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$2y+3x=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3x નો ઘટાડો કરો.

$$2y=-3x+2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{2}\left(-3x+2\right)$$

-3x+2 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{2}x+1$$

અન્ય સમીકરણ, -8y+3x=175 માં y માટે -\frac{3x}{2}+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8\left(-\frac{3}{2}x+1\right)+3x=175$$

-\frac{3x}{2}+1 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$12x-8+3x=175$$

3x માં 12x ઍડ કરો.

$$15x-8=175$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$15x=183$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{61}{5}$$

y=-\frac{3}{2}x+1માં x માટે \frac{61}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\frac{3}{2}\times \frac{61}{5}+1$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{2} નો \frac{61}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-\frac{183}{10}+1$$

-\frac{183}{10} માં 1 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{173}{10}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{173}{10},x=\frac{61}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2y+3x=2,-8y+3x=175$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\175\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\175\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\175\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\175\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-8\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{2\times 3-3\left(-8\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\175\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\\\frac{4}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\175\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{10}\times 175\\\frac{4}{15}\times 2+\frac{1}{15}\times 175\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{10}\\\frac{61}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{173}{10},x=\frac{61}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2y+3x=2,-8y+3x=175$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2y+3x=2માંથી -8y+3x=175 ને ઘટાડો.

$$2y+8y+3x-3x=2-175$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$2y+8y=2-175$$

8y માં 2y ઍડ કરો.

$$10y=2-175$$

-175 માં 2 ઍડ કરો.

$$10y=-173$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{173}{10}$$

-8y+3x=175માં y માટે -\frac{173}{10} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-8\left(-\frac{173}{10}\right)+3x=175$$

-\frac{173}{10} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{692}{5}+3x=175$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{692}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$3x=\frac{183}{5}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{61}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{173}{10},x=\frac{61}{5}$$