{l}{2x-3y=4}{5x+4y=3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { 5 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{25}{23} = 1\frac{2}{23} \approx 1.086956522$$

$$y=-\frac{14}{23}\approx -0.608695652$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y=4,5x+4y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y+4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

3y+4 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+4y=3 માં x માટે \frac{3y}{2}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(\frac{3}{2}y+2\right)+4y=3$$

\frac{3y}{2}+2 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{15}{2}y+10+4y=3$$

4y માં \frac{15y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{23}{2}y+10=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{23}{2}y=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{23}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{14}{23}$$

x=\frac{3}{2}y+2માં y માટે -\frac{14}{23} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{14}{23}\right)+2$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{2} નો -\frac{14}{23} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{21}{23}+2$$

-\frac{21}{23} માં 2 ઍડ કરો.

$$x=\frac{25}{23}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{23},y=-\frac{14}{23}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y=4,5x+4y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 4+\frac{3}{23}\times 3\\-\frac{5}{23}\times 4+\frac{2}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\\-\frac{14}{23}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{25}{23},y=-\frac{14}{23}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y=4,5x+4y=3$$

2x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 4,2\times 5x+2\times 4y=2\times 3$$

સરળ બનાવો.

$$10x-15y=20,10x+8y=6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x-15y=20માંથી 10x+8y=6 ને ઘટાડો.

$$10x-10x-15y-8y=20-6$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$-15y-8y=20-6$$

-8y માં -15y ઍડ કરો.

$$-23y=20-6$$

-6 માં 20 ઍડ કરો.

$$-23y=14$$

બન્ને બાજુનો -23 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{14}{23}$$

5x+4y=3માં y માટે -\frac{14}{23} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+4\left(-\frac{14}{23}\right)=3$$

-\frac{14}{23} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-\frac{56}{23}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{56}{23} ઍડ કરો.

$$5x=\frac{125}{23}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{25}{23}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{23},y=-\frac{14}{23}$$