{l}{2x-3y=1}{3x+5y=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { 3 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{8}{19}\approx 0.421052632$$

$$y=-\frac{1}{19}\approx -0.052631579$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y+1$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

3y+1 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+5y=1 માં x માટે \frac{3y+1}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+5y=1$$

\frac{3y+1}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}+5y=1$$

5y માં \frac{9y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{19}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{19}{2}y=-\frac{1}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{19}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{1}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}માં y માટે -\frac{1}{19} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{19}\right)+\frac{1}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{2} નો -\frac{1}{19} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{3}{38}+\frac{1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{3}{38} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{8}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5+3}{19}\\\frac{-3+2}{19}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\\-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y=1,3x+5y=1$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3,2\times 3x+2\times 5y=2$$

સરળ બનાવો.

$$6x-9y=3,6x+10y=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x-9y=3માંથી 6x+10y=2 ને ઘટાડો.

$$6x-6x-9y-10y=3-2$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$-9y-10y=3-2$$

-10y માં -9y ઍડ કરો.

$$-19y=3-2$$

-2 માં 3 ઍડ કરો.

$$-19y=1$$

બન્ને બાજુનો -19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{19}$$

3x+5y=1માં y માટે -\frac{1}{19} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+5\left(-\frac{1}{19}\right)=1$$

-\frac{1}{19} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-\frac{5}{19}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{19} ઍડ કરો.

$$3x=\frac{24}{19}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{8}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{8}{19},y=-\frac{1}{19}$$