{l}{2x-2y=5}{5y-x=3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 5 } \\ { 5 y - x = 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-2y=5,-x+5y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-2y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$2x=2y+5$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+5\right)$$

2y+5 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=y+\frac{5}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -x+5y=3 માં x માટે y+\frac{5}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(y+\frac{5}{2}\right)+5y=3$$

y+\frac{5}{2} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y-\frac{5}{2}+5y=3$$

5y માં -y ઍડ કરો.

$$4y-\frac{5}{2}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{2} ઍડ કરો.

$$4y=\frac{11}{2}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{11}{8}$$

x=y+\frac{5}{2}માં y માટે \frac{11}{8} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{11}{8}+\frac{5}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{11}{8} માં \frac{5}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{31}{8}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{31}{8},y=\frac{11}{8}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-2y=5,-x+5y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{2\times 5-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 5-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 5+\frac{1}{4}\times 3\\\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{31}{8},y=\frac{11}{8}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-2y=5,-x+5y=3$$

2x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-\left(-2y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 5y=2\times 3$$

સરળ બનાવો.

$$-2x+2y=-5,-2x+10y=6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x+2y=-5માંથી -2x+10y=6 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x+2y-10y=-5-6$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$2y-10y=-5-6$$

-10y માં 2y ઍડ કરો.

$$-8y=-5-6$$

-6 માં -5 ઍડ કરો.

$$-8y=-11$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{11}{8}$$

-x+5y=3માં y માટે \frac{11}{8} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+5\times \frac{11}{8}=3$$

\frac{11}{8} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x+\frac{55}{8}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{55}{8} નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-\frac{31}{8}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{31}{8}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{31}{8},y=\frac{11}{8}$$