{l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=6$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-15=3y+6$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x-15-3y=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 15 ઍડ કરો.

$$2x-3y=6+15$$

21મેળવવા માટે 6 અને 15 ને ઍડ કરો.

$$2x-3y=21$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 7 સાથે x-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$7x-28=-1-5y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5y ઍડ કરો.

$$7x-28+5y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 28 ઍડ કરો.

$$7x+5y=-1+28$$

27મેળવવા માટે -1 અને 28 ને ઍડ કરો.

$$7x+5y=27$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y+21$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

21+3y ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+5y=27 માં x માટે \frac{21+3y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

\frac{21+3y}{2} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

5y માં \frac{21y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{147}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{31}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

-3 ને \frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{2} માં \frac{21}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=6,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-15=3y+6$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x-15-3y=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 15 ઍડ કરો.

$$2x-3y=6+15$$

21મેળવવા માટે 6 અને 15 ને ઍડ કરો.

$$2x-3y=21$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 7 સાથે x-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$7x-28=-1-5y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5y ઍડ કરો.

$$7x-28+5y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 28 ઍડ કરો.

$$7x+5y=-1+28$$

27મેળવવા માટે -1 અને 28 ને ઍડ કરો.

$$7x+5y=27$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=6,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-15=3y+6$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x-15-3y=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 15 ઍડ કરો.

$$2x-3y=6+15$$

21મેળવવા માટે 6 અને 15 ને ઍડ કરો.

$$2x-3y=21$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 7 સાથે x-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$7x-28=-1-5y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5y ઍડ કરો.

$$7x-28+5y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 28 ઍડ કરો.

$$7x+5y=-1+28$$

27મેળવવા માટે -1 અને 28 ને ઍડ કરો.

$$7x+5y=27$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x અને 7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

સરળ બનાવો.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 14x-21y=147માંથી 14x+10y=54 ને ઘટાડો.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

-14x માં 14x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 14x અને -14x ને વિભાજિત કરો.

$$-21y-10y=147-54$$

-10y માં -21y ઍડ કરો.

$$-31y=147-54$$

-54 માં 147 ઍડ કરો.

$$-31y=93$$

બન્ને બાજુનો -31 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

7x+5y=27માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

-3 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7x-15=27$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 15 ઍડ કરો.

$$7x=42$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=6,y=-3$$