{l}{2x-y-3/2=4}{3y-x-2/3=9} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - \frac { y - 3 } { 2 } = 4 } \\ { 3 y - \frac { x - 2 } { 3 } = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4x-\left(y-3\right)=8$$

y-3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$4x-y+3=8$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$4x-y=8-3$$

5 મેળવવા માટે 8 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$4x-y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9y-\left(x-2\right)=27$$

x-2 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$9y-x+2=27$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$9y-x=27-2$$

25 મેળવવા માટે 27 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$9y-x=25$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x-y=5,-x+9y=25$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x-y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$4x=y+5$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

y+5 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, -x+9y=25 માં x માટે \frac{5+y}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+9y=25$$

\frac{5+y}{4} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}+9y=25$$

9y માં -\frac{y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{35}{4}y-\frac{5}{4}=25$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{35}{4}y=\frac{105}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{35}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=3$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}માં y માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

3 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{4} માં \frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4x-\left(y-3\right)=8$$

y-3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$4x-y+3=8$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$4x-y=8-3$$

5 મેળવવા માટે 8 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$4x-y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9y-\left(x-2\right)=27$$

x-2 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$9y-x+2=27$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$9y-x=27-2$$

25 મેળવવા માટે 27 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$9y-x=25$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-y=5,-x+9y=25$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\25\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\25\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\25\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{35}&\frac{1}{35}\\\frac{1}{35}&\frac{4}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\25\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{35}\times 5+\frac{1}{35}\times 25\\\frac{1}{35}\times 5+\frac{4}{35}\times 25\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4x-\left(y-3\right)=8$$

y-3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$4x-y+3=8$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$4x-y=8-3$$

5 મેળવવા માટે 8 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$4x-y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9y-\left(x-2\right)=27$$

x-2 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$9y-x+2=27$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$9y-x=27-2$$

25 મેળવવા માટે 27 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$9y-x=25$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x-y=5,-x+9y=25$$

4x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4x-\left(-y\right)=-5,4\left(-1\right)x+4\times 9y=4\times 25$$

સરળ બનાવો.

$$-4x+y=-5,-4x+36y=100$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -4x+y=-5માંથી -4x+36y=100 ને ઘટાડો.

$$-4x+4x+y-36y=-5-100$$

4x માં -4x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -4x અને 4x ને વિભાજિત કરો.

$$y-36y=-5-100$$

-36y માં y ઍડ કરો.

$$-35y=-5-100$$

-100 માં -5 ઍડ કરો.

$$-35y=-105$$

બન્ને બાજુનો -35 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=3$$

-x+9y=25માં y માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+9\times 3=25$$

3 ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x+27=25$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 27 નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-2$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=3$$