{l}{2x+y=11}{5x+3y=30} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+y=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-y+11$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

-y+11 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x+3y=30 માં x માટે \frac{-y+11}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

\frac{-y+11}{2} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

3y માં -\frac{5y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{55}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

5 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{2} માં \frac{11}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

2x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

સરળ બનાવો.

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+5y=55માંથી 10x+6y=60 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$5y-6y=55-60$$

-6y માં 5y ઍડ કરો.

$$-y=55-60$$

-60 માં 55 ઍડ કરો.

$$-y=-5$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

5x+3y=30માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x+3\times 5=30$$

5 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+15=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 15 નો ઘટાડો કરો.

$$5x=15$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=5$$