{l}{2x+5y=7}{3x-2y=6} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{44}{19} = 2\frac{6}{19} \approx 2.315789474$$

$$y=\frac{9}{19}\approx 0.473684211$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+5y=7,3x-2y=6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+5y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-5y+7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+7\right)$$

-5y+7 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-2y=6 માં x માટે \frac{-5y+7}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)-2y=6$$

\frac{-5y+7}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{21}{2}-2y=6$$

-2y માં -\frac{15y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{21}{2}=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{21}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{9}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{19}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{9}{19}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}માં y માટે \frac{9}{19} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{9}{19}+\frac{7}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{5}{2} નો \frac{9}{19} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{45}{38}+\frac{7}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{45}{38} માં \frac{7}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{44}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{44}{19},y=\frac{9}{19}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+5y=7,3x-2y=6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 7+\frac{5}{19}\times 6\\\frac{3}{19}\times 7-\frac{2}{19}\times 6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{19}\\\frac{9}{19}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{44}{19},y=\frac{9}{19}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+5y=7,3x-2y=6$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 7,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6$$

સરળ બનાવો.

$$6x+15y=21,6x-4y=12$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+15y=21માંથી 6x-4y=12 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+15y+4y=21-12$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$15y+4y=21-12$$

4y માં 15y ઍડ કરો.

$$19y=21-12$$

-12 માં 21 ઍડ કરો.

$$19y=9$$

બન્ને બાજુનો 19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{9}{19}$$

3x-2y=6માં y માટે \frac{9}{19} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-2\times \frac{9}{19}=6$$

\frac{9}{19} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-\frac{18}{19}=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{18}{19} ઍડ કરો.

$$3x=\frac{132}{19}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{44}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{44}{19},y=\frac{9}{19}$$