{l}{2x+3y-1=x+6}{y-x-8=x+6} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y - 1 = x + 6 } \\ { y - x - 8 = x + 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-5$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$2x+3y-1-x=6$$

x ને મેળવવા માટે 2x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$x+3y-1=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$x+3y=6+1$$

7મેળવવા માટે 6 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x+3y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x-8-x=6$$

-2x ને મેળવવા માટે -x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$y-2x-8=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 8 ઍડ કરો.

$$y-2x=6+8$$

14મેળવવા માટે 6 અને 8 ને ઍડ કરો.

$$y-2x=14$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+3y=7,-2x+y=14$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+3y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-3y+7$$

અન્ય સમીકરણ, -2x+y=14 માં x માટે -3y+7 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-3y+7\right)+y=14$$

-3y+7 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6y-14+y=14$$

y માં 6y ઍડ કરો.

$$7y-14=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14 ઍડ કરો.

$$7y=28$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

x=-3y+7માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-3\times 4+7$$

4 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-12+7$$

-12 માં 7 ઍડ કરો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$2x+3y-1-x=6$$

x ને મેળવવા માટે 2x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$x+3y-1=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$x+3y=6+1$$

7મેળવવા માટે 6 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x+3y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x-8-x=6$$

-2x ને મેળવવા માટે -x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$y-2x-8=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 8 ઍડ કરો.

$$y-2x=6+8$$

14મેળવવા માટે 6 અને 8 ને ઍડ કરો.

$$y-2x=14$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+3y=7,-2x+y=14$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-3\left(-2\right)}&\frac{1}{1-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7-\frac{3}{7}\times 14\\\frac{2}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-5,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$2x+3y-1-x=6$$

x ને મેળવવા માટે 2x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$x+3y-1=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$x+3y=6+1$$

7મેળવવા માટે 6 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$x+3y=7$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x-8-x=6$$

-2x ને મેળવવા માટે -x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$y-2x-8=6$$

બંને સાઇડ્સ માટે 8 ઍડ કરો.

$$y-2x=6+8$$

14મેળવવા માટે 6 અને 8 ને ઍડ કરો.

$$y-2x=14$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+3y=7,-2x+y=14$$

x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-2\times 3y=-2\times 7,-2x+y=14$$

સરળ બનાવો.

$$-2x-6y=-14,-2x+y=14$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x-6y=-14માંથી -2x+y=14 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x-6y-y=-14-14$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$-6y-y=-14-14$$

-y માં -6y ઍડ કરો.

$$-7y=-14-14$$

-14 માં -14 ઍડ કરો.

$$-7y=-28$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

-2x+y=14માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x+4=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=10$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=4$$