{l}{2m-3n=130}{-m+5=4n} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4n ઘટાડો.

$$-m+5-4n=0$$

બન્ને બાજુથી 5 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$-m-4n=-5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$2m-3n=130$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3n ઍડ કરો.

$$2m=3n+130$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

3n+130 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

અન્ય સમીકરણ, -m-4n=-5 માં m માટે \frac{3n}{2}+65 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

\frac{3n}{2}+65 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

-4n માં -\frac{3n}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 65 ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{11}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$n=-\frac{120}{11}$$

m=\frac{3}{2}n+65માં n માટે -\frac{120}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{2} નો -\frac{120}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

-\frac{180}{11} માં 65 ઍડ કરો.

$$m=\frac{535}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4n ઘટાડો.

$$-m+5-4n=0$$

બન્ને બાજુથી 5 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$-m-4n=-5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4n ઘટાડો.

$$-m+5-4n=0$$

બન્ને બાજુથી 5 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$-m-4n=-5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m અને -m ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2m+3n=-130માંથી -2m-8n=-10 ને ઘટાડો.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

2m માં -2m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2m અને 2m ને વિભાજિત કરો.

$$3n+8n=-130+10$$

8n માં 3n ઍડ કરો.

$$11n=-130+10$$

10 માં -130 ઍડ કરો.

$$11n=-120$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=-\frac{120}{11}$$

-m-4n=-5માં n માટે -\frac{120}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-\frac{120}{11} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{480}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{535}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$