{l}{2a=3b}{7a+2b=200} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=24$$

$$b=16$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3b ઘટાડો.

$$2a-3b=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$2a-3b=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3b ઍડ કરો.

$$2a=3b$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

3b ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=\frac{3}{2}b$$

અન્ય સમીકરણ, 7a+2b=200 માં a માટે \frac{3b}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

\frac{3b}{2} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

2b માં \frac{21b}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{25}{2}b=200$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{25}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=16$$

a=\frac{3}{2}bમાં b માટે 16 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

16 ને \frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=24$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=24,b=16$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3b ઘટાડો.

$$2a-3b=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=24,b=16$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3b ઘટાડો.

$$2a-3b=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

2a અને 7a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

સરળ બનાવો.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 14a-21b=0માંથી 14a+4b=400 ને ઘટાડો.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

-14a માં 14a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 14a અને -14a ને વિભાજિત કરો.

$$-21b-4b=-400$$

-4b માં -21b ઍડ કરો.

$$-25b=-400$$

બન્ને બાજુનો -25 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=16$$

7a+2b=200માં b માટે 16 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$7a+2\times 16=200$$

16 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$7a+32=200$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 32 નો ઘટાડો કરો.

$$7a=168$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=24$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=24,b=16$$