{l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-19$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

-3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

-x ને મેળવવા માટે 2x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$-x+2y+3y=4$$

5y ને મેળવવા માટે 2y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-x+5y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

-7 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

-2x ને મેળવવા માટે 5x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$-2x+5y+7y=2$$

12y ને મેળવવા માટે 5y અને 7y ને એકસાથે કરો.

$$-2x+12y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x+5y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-5y+4$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

-5y+4 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=5y-4$$

અન્ય સમીકરણ, -2x+12y=2 માં x માટે 5y-4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

5y-4 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+8+12y=2$$

12y માં -10y ઍડ કરો.

$$2y+8=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$2y=-6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=5y-4માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

-3 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-15-4$$

-15 માં -4 ઍડ કરો.

$$x=-19$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-19,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

-3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

-x ને મેળવવા માટે 2x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$-x+2y+3y=4$$

5y ને મેળવવા માટે 2y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-x+5y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

-7 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

-2x ને મેળવવા માટે 5x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$-2x+5y+7y=2$$

12y ને મેળવવા માટે 5y અને 7y ને એકસાથે કરો.

$$-2x+12y=2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-19,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

-3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

-x ને મેળવવા માટે 2x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$-x+2y+3y=4$$

5y ને મેળવવા માટે 2y અને 3y ને એકસાથે કરો.

$$-x+5y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

-7 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

-2x ને મેળવવા માટે 5x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$-2x+5y+7y=2$$

12y ને મેળવવા માટે 5y અને 7y ને એકસાથે કરો.

$$-2x+12y=2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

-x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

સરળ બનાવો.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-10y=-8માંથી 2x-12y=-2 ને ઘટાડો.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$-10y+12y=-8+2$$

12y માં -10y ઍડ કરો.

$$2y=-8+2$$

2 માં -8 ઍડ કરો.

$$2y=-6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

-2x+12y=2માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

-3 ને 12 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x-36=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 36 ઍડ કરો.

$$-2x=38$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-19$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-19,y=-3$$