{l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2x+2y-x+y=3$$

x ને મેળવવા માટે 2x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$x+2y+y=3$$

3y ને મેળવવા માટે 2y અને y ને એકસાથે કરો.

$$x+3y=3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x ને મેળવવા માટે x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-x+y+2y=1$$

3y ને મેળવવા માટે y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$-x+3y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+3y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-3y+3$$

અન્ય સમીકરણ, -x+3y=1 માં x માટે -3y+3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

-3y+3 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y-3+3y=1$$

3y માં 3y ઍડ કરો.

$$6y-3=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$6y=4$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-3y+3માં y માટે \frac{2}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

\frac{2}{3} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2+3$$

-2 માં 3 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2x+2y-x+y=3$$

x ને મેળવવા માટે 2x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$x+2y+y=3$$

3y ને મેળવવા માટે 2y અને y ને એકસાથે કરો.

$$x+3y=3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x ને મેળવવા માટે x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-x+y+2y=1$$

3y ને મેળવવા માટે y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$-x+3y=1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2x+2y-x+y=3$$

x ને મેળવવા માટે 2x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$x+2y+y=3$$

3y ને મેળવવા માટે 2y અને y ને એકસાથે કરો.

$$x+3y=3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x ને મેળવવા માટે x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-x+y+2y=1$$

3y ને મેળવવા માટે y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$-x+3y=1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x+3y=3માંથી -x+3y=1 ને ઘટાડો.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

-3y માં 3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3y અને -3y ને વિભાજિત કરો.

$$x+x=3-1$$

x માં x ઍડ કરો.

$$2x=3-1$$

-1 માં 3 ઍડ કરો.

$$2x=2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

-x+3y=1માં x માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-1+3y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$3y=2$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{2}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$