{l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3 સાથે y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+6=3y+3+1$$

4મેળવવા માટે 3 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$2x+6=3y+4$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x+6-3y=4$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$2x-3y=4-6$$

-2 મેળવવા માટે 4 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

2 સાથે x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-3=2x-4$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

x ને મેળવવા માટે 3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x-3y-3=-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$x-3y=-4+3$$

-1મેળવવા માટે -4 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$x-3y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y-2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

3y-2 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

અન્ય સમીકરણ, x-3y=-1 માં x માટે \frac{3y}{2}-1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=-1$$

-3y માં \frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{2}y-1=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{2}y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=0$$

x=\frac{3}{2}y-1માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=0$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3 સાથે y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+6=3y+3+1$$

4મેળવવા માટે 3 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$2x+6=3y+4$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x+6-3y=4$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$2x-3y=4-6$$

-2 મેળવવા માટે 4 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

2 સાથે x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-3=2x-4$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

x ને મેળવવા માટે 3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x-3y-3=-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$x-3y=-4+3$$

-1મેળવવા માટે -4 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$x-3y=-1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=0$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3 સાથે y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+6=3y+3+1$$

4મેળવવા માટે 3 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$2x+6=3y+4$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x+6-3y=4$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$2x-3y=4-6$$

-2 મેળવવા માટે 4 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)$$

2 સાથે x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-3=2x-4$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$3x-3y-3-2x=-4$$

x ને મેળવવા માટે 3x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x-3y-3=-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$x-3y=-4+3$$

-1મેળવવા માટે -4 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$x-3y=-1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y=-2,x-3y=-1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-3y=-2માંથી x-3y=-1 ને ઘટાડો.

$$2x-x-3y+3y=-2+1$$

3y માં -3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3y અને 3y ને વિભાજિત કરો.

$$2x-x=-2+1$$

-x માં 2x ઍડ કરો.

$$x=-2+1$$

1 માં -2 ઍડ કરો.

$$x=-1$$

x-3y=-1માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-1-3y=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$-3y=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=0$$