{l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

x+2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

y-1 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+4-3y+3=13$$

3 માં 4 ઍડ કરો.

$$2x-3y+7=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7 નો ઘટાડો કરો.

$$2x-3y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y+6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

6+3y ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

અન્ય સમીકરણ, 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9 માં x માટે \frac{3y}{2}+3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

2 માં 3 ઍડ કરો.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

\frac{3y}{2}+5 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

y-1 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

5y માં \frac{9y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

-5 માં 15 ઍડ કરો.

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{19}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=\frac{3}{2}y+3માં y માટે \frac{11}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{2} નો \frac{11}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{33}{10}+3$$

\frac{33}{10} માં 3 ઍડ કરો.

$$x=\frac{63}{10}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

પ્રથમ સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

x+2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

y-1 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+4-3y+3=13$$

3 માં 4 ઍડ કરો.

$$2x-3y+7=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7 નો ઘટાડો કરો.

$$2x-3y=6$$

બીજા સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

x+2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

y-1 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+6+5y-5=30.9$$

-5 માં 6 ઍડ કરો.

$$3x+5y+1=30.9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$3x+5y=29.9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$