{l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-8+3y=31$$

બંને સાઇડ્સ માટે 8 ઍડ કરો.

$$6x+3y=31+8$$

39મેળવવા માટે 31 અને 8 ને ઍડ કરો.

$$6x+3y=39$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x-2y=50$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x+3y=39$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-3y+39$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

-3y+39 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-2y=50 માં x માટે \frac{-y+13}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

\frac{-y+13}{2} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

-2y માં -\frac{5y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{65}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{9}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{35}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}માં y માટે -\frac{35}{9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો -\frac{35}{9} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{35}{18} માં \frac{13}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{76}{9}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-8+3y=31$$

બંને સાઇડ્સ માટે 8 ઍડ કરો.

$$6x+3y=31+8$$

39મેળવવા માટે 31 અને 8 ને ઍડ કરો.

$$6x+3y=39$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x-2y=50$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે 3x-4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-8+3y=31$$

બંને સાઇડ્સ માટે 8 ઍડ કરો.

$$6x+3y=31+8$$

39મેળવવા માટે 31 અને 8 ને ઍડ કરો.

$$6x+3y=39$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,5 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$5x-2y=50$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

સરળ બનાવો.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 30x+15y=195માંથી 30x-12y=300 ને ઘટાડો.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

-30x માં 30x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 30x અને -30x ને વિભાજિત કરો.

$$15y+12y=195-300$$

12y માં 15y ઍડ કરો.

$$27y=195-300$$

-300 માં 195 ઍડ કરો.

$$27y=-105$$

બન્ને બાજુનો 27 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{35}{9}$$

5x-2y=50માં y માટે -\frac{35}{9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

-\frac{35}{9} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{70}{9} નો ઘટાડો કરો.

$$5x=\frac{380}{9}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{76}{9}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$