{l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2x-3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

y+4 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-6+3y+12=7$$

12 માં -6 ઍડ કરો.

$$4x+3y+6=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$4x+3y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-3y+1$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

-3y+1 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3 માં x માટે \frac{-3y+1}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

2 માં \frac{1}{4} ઍડ કરો.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

\frac{-3y+9}{4} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

-y+2 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

5y માં -3y ઍડ કરો.

$$2y+9-10=-3$$

-10 માં 9 ઍડ કરો.

$$2y-1=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$2y=-2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

-1 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{4} માં \frac{1}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

પ્રથમ સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2x-3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

y+4 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-6+3y+12=7$$

12 માં -6 ઍડ કરો.

$$4x+3y+6=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$4x+3y=1$$

બીજા સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકવા માટે તેને સરળ બનાવો.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

x+2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

-y+2 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+8+5y-10=-3$$

-10 માં 8 ઍડ કરો.

$$4x+5y-2=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$4x+5y=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-1$$