{l}{16m+50n=55}{2m+4n=5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

m, n માટે ઉકેલો

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને m ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને m માટે ઉકેલો.

$$16m+50n=55$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50n નો ઘટાડો કરો.

$$16m=-50n+55$$

બન્ને બાજુનો 16 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

-50n+55 ને \frac{1}{16} વાર ગુણાકાર કરો.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

અન્ય સમીકરણ, 2m+4n=5 માં m માટે -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

4n માં -\frac{25n}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{55}{8} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{9}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$n=\frac{5}{6}$$

m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}માં n માટે \frac{5}{6} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{25}{8} નો \frac{5}{6} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{125}{48} માં \frac{55}{16} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$m=\frac{5}{6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો m અને n ને કાઢો.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m અને 2m ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 16 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 32m+100n=110માંથી 32m+64n=80 ને ઘટાડો.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

-32m માં 32m ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 32m અને -32m ને વિભાજિત કરો.

$$100n-64n=110-80$$

-64n માં 100n ઍડ કરો.

$$36n=110-80$$

-80 માં 110 ઍડ કરો.

$$36n=30$$

બન્ને બાજુનો 36 થી ભાગાકાર કરો.

$$n=\frac{5}{6}$$

2m+4n=5માં n માટે \frac{5}{6} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું m માટે ઉકેલો.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

\frac{5}{6} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{10}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$2m=\frac{5}{3}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$m=\frac{5}{6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$