{l}{13x=y}{65x+2y=13} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 13 x = y } \\ { 65 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

$$y = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$13x-y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$13x-y=0,65x+2y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$13x-y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$13x=y$$

બન્ને બાજુનો 13 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{13}y$$

અન્ય સમીકરણ, 65x+2y=13 માં x માટે \frac{y}{13} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$65\times \frac{1}{13}y+2y=13$$

\frac{y}{13} ને 65 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y+2y=13$$

2y માં 5y ઍડ કરો.

$$7y=13$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{13}{7}$$

x=\frac{1}{13}yમાં y માટે \frac{13}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{13}\times \frac{13}{7}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{13} નો \frac{13}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{7},y=\frac{13}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$13x-y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$13x-y=0,65x+2y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&-1\\65&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13\times 2-\left(-65\right)}&-\frac{-1}{13\times 2-\left(-65\right)}\\-\frac{65}{13\times 2-\left(-65\right)}&\frac{13}{13\times 2-\left(-65\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{91}&\frac{1}{91}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{91}\times 13\\\frac{1}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1}{7},y=\frac{13}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$13x-y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$13x-y=0,65x+2y=13$$

13x અને 65x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 65 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 13 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$65\times 13x+65\left(-1\right)y=0,13\times 65x+13\times 2y=13\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$845x-65y=0,845x+26y=169$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 845x-65y=0માંથી 845x+26y=169 ને ઘટાડો.

$$845x-845x-65y-26y=-169$$

-845x માં 845x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 845x અને -845x ને વિભાજિત કરો.

$$-65y-26y=-169$$

-26y માં -65y ઍડ કરો.

$$-91y=-169$$

બન્ને બાજુનો -91 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{13}{7}$$

65x+2y=13માં y માટે \frac{13}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$65x+2\times \frac{13}{7}=13$$

\frac{13}{7} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$65x+\frac{26}{7}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{26}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$65x=\frac{65}{7}$$

બન્ને બાજુનો 65 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{7},y=\frac{13}{7}$$