{l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6y ઘટાડો.

$$10x+y-6y=5$$

-5y ને મેળવવા માટે y અને -6y ને એકસાથે કરો.

$$10x-5y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 10x ઘટાડો.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x ને મેળવવા માટે x અને -10x ને એકસાથે કરો.

$$10y-9x=y+27$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$10y-9x-y=27$$

9y ને મેળવવા માટે 10y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$9y-9x=27$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$10x-5y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$10x=5y+5$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

5+5y ને \frac{1}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -9x+9y=27 માં x માટે \frac{1+y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

\frac{1+y}{2} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

9y માં -\frac{9y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{9}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

7 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{2} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=7$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6y ઘટાડો.

$$10x+y-6y=5$$

-5y ને મેળવવા માટે y અને -6y ને એકસાથે કરો.

$$10x-5y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 10x ઘટાડો.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x ને મેળવવા માટે x અને -10x ને એકસાથે કરો.

$$10y-9x=y+27$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$10y-9x-y=27$$

9y ને મેળવવા માટે 10y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$9y-9x=27$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=7$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 6y ઘટાડો.

$$10x+y-6y=5$$

-5y ને મેળવવા માટે y અને -6y ને એકસાથે કરો.

$$10x-5y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 10x ઘટાડો.

$$10y+x-10x=y+27$$

-9x ને મેળવવા માટે x અને -10x ને એકસાથે કરો.

$$10y-9x=y+27$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$10y-9x-y=27$$

9y ને મેળવવા માટે 10y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$9y-9x=27$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x અને -9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

સરળ બનાવો.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -90x+45y=-45માંથી -90x+90y=270 ને ઘટાડો.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

90x માં -90x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -90x અને 90x ને વિભાજિત કરો.

$$45y-90y=-45-270$$

-90y માં 45y ઍડ કરો.

$$-45y=-45-270$$

-270 માં -45 ઍડ કરો.

$$-45y=-315$$

બન્ને બાજુનો -45 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

-9x+9y=27માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-9x+9\times 7=27$$

7 ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x+63=27$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 63 નો ઘટાડો કરો.

$$-9x=-36$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=7$$