{l}{10x+25y=600}{15x+30y=750} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 25 y = 600 } \\ { 15 x + 30 y = 750 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=10$$

$$y=20$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$10x+25y=600$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 25y નો ઘટાડો કરો.

$$10x=-25y+600$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{10}\left(-25y+600\right)$$

-25y+600 ને \frac{1}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

અન્ય સમીકરણ, 15x+30y=750 માં x માટે -\frac{5y}{2}+60 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+30y=750$$

-\frac{5y}{2}+60 ને 15 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{75}{2}y+900+30y=750$$

30y માં -\frac{75y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{15}{2}y+900=750$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 900 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{15}{2}y=-150$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{15}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=20$$

x=-\frac{5}{2}y+60માં y માટે 20 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{2}\times 20+60$$

20 ને -\frac{5}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-50+60$$

-50 માં 60 ઍડ કરો.

$$x=10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=10,y=20$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&25\\15&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{10\times 30-25\times 15}&-\frac{25}{10\times 30-25\times 15}\\-\frac{15}{10\times 30-25\times 15}&\frac{10}{10\times 30-25\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}600\\750\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 600+\frac{1}{3}\times 750\\\frac{1}{5}\times 600-\frac{2}{15}\times 750\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=10,y=20$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$10x+25y=600,15x+30y=750$$

10x અને 15x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 15 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$15\times 10x+15\times 25y=15\times 600,10\times 15x+10\times 30y=10\times 750$$

સરળ બનાવો.

$$150x+375y=9000,150x+300y=7500$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 150x+375y=9000માંથી 150x+300y=7500 ને ઘટાડો.

$$150x-150x+375y-300y=9000-7500$$

-150x માં 150x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 150x અને -150x ને વિભાજિત કરો.

$$375y-300y=9000-7500$$

-300y માં 375y ઍડ કરો.

$$75y=9000-7500$$

-7500 માં 9000 ઍડ કરો.

$$75y=1500$$

બન્ને બાજુનો 75 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=20$$

15x+30y=750માં y માટે 20 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$15x+30\times 20=750$$

20 ને 30 વાર ગુણાકાર કરો.

$$15x+600=750$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 600 નો ઘટાડો કરો.

$$15x=150$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=10,y=20$$