{l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

r, t માટે ઉકેલો

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને r ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને r માટે ઉકેલો.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{t}{50} નો ઘટાડો કરો.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.07 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

-\frac{t}{50}+0.16 ને \frac{100}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, 0.05r-0.03t=0.21 માં r માટે \frac{-2t+16}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

\frac{-2t+16}{7} ને 0.05 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

-\frac{3t}{100} માં -\frac{t}{70} ઍડ કરો.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4}{35} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{31}{700} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$t=-\frac{67}{31}$$

r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}માં t માટે -\frac{67}{31} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું r માટે ઉકેલો.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{7} નો -\frac{67}{31} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{134}{217} માં \frac{16}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$r=\frac{90}{31}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો r અને t ને કાઢો.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

\frac{7r}{100} અને \frac{r}{20} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 0.05 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 0.07 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

સરળ બનાવો.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 0.0035r+0.001t=0.008માંથી 0.0035r-0.0021t=0.0147 ને ઘટાડો.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

-\frac{7r}{2000} માં \frac{7r}{2000} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{7r}{2000} અને -\frac{7r}{2000} ને વિભાજિત કરો.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

\frac{21t}{10000} માં \frac{t}{1000} ઍડ કરો.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -0.0147 માં 0.008 ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$0.0031t=-0.0067$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.0031 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$t=-\frac{67}{31}$$

0.05r-0.03t=0.21માં t માટે -\frac{67}{31} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું r માટે ઉકેલો.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -0.03 નો -\frac{67}{31} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{201}{3100} નો ઘટાડો કરો.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

બન્ને બાજુનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$r=\frac{90}{31}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$