{l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$0.6x+2y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$0.6x=-2y+20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.6 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

-2y+20 ને \frac{5}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -4x+y+2=-1 માં x માટે \frac{-10y+100}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

\frac{-10y+100}{3} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

y માં \frac{40y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

2 માં -\frac{400}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{394}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{43}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{391}{43}$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}માં y માટે \frac{391}{43} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{10}{3} નો \frac{391}{43} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{3910}{129} માં \frac{100}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{130}{43}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

\frac{3x}{5} અને -4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 0.6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2.4x-8y=-80માંથી -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 ને ઘટાડો.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

\frac{12x}{5} માં -\frac{12x}{5} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{12x}{5} અને \frac{12x}{5} ને વિભાજિત કરો.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

-\frac{3y}{5} માં -8y ઍડ કરો.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

0.6 માં -80 ઍડ કરો.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1.2 ઍડ કરો.

$$-8.6y=-78.2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -8.6 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{391}{43}$$

-4x+y+2=-1માં y માટે \frac{391}{43} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

2 માં \frac{391}{43} ઍડ કરો.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{477}{43} નો ઘટાડો કરો.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{130}{43}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$