{l}{0,2x-0,3(2y+1)=1,5}{3(x+1)+3y=2y-2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,2 x - 0,3 ( 2 y + 1 ) = 1,5 } \\ { 3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y - 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-0.6$$

$$y=-3.2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -0.3 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 0.3 ઍડ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

1.8મેળવવા માટે 1.5 અને 0.3 ને ઍડ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3+3y=2y-2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y ને મેળવવા માટે 3y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$3x+3+y=-2$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x+y=-2-3$$

-5 મેળવવા માટે -2 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x+y=-5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3y}{5} ઍડ કરો.

$$0.2x=0.6y+1.8$$

બન્ને બાજુનો 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=5\left(0.6y+1.8\right)$$

\frac{3y+9}{5} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=3y+9$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+y=-5 માં x માટે 9+3y નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(3y+9\right)+y=-5$$

9+3y ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9y+27+y=-5$$

y માં 9y ઍડ કરો.

$$10y+27=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 27 નો ઘટાડો કરો.

$$10y=-32$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{16}{5}$$

x=3y+9માં y માટે -\frac{16}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=3\left(-\frac{16}{5}\right)+9$$

-\frac{16}{5} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{48}{5}+9$$

-\frac{48}{5} માં 9 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{3}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -0.3 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 0.3 ઍડ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

1.8મેળવવા માટે 1.5 અને 0.3 ને ઍડ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3+3y=2y-2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y ને મેળવવા માટે 3y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$3x+3+y=-2$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x+y=-2-3$$

-5 મેળવવા માટે -2 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x+y=-5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&-0.6\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&-\frac{-0.6}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\\-\frac{3}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}&\frac{0.2}{0.2-\left(-0.6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.8\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 1.8+\frac{3}{10}\left(-5\right)\\-\frac{3}{2}\times 1.8+\frac{1}{10}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-\frac{16}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -0.3 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$0.2x-0.6y-0.3=1.5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 0.3 ઍડ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.5+0.3$$

1.8મેળવવા માટે 1.5 અને 0.3 ને ઍડ કરો.

$$0.2x-0.6y=1.8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3+3y=2y-2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x+3+3y-2y=-2$$

y ને મેળવવા માટે 3y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$3x+3+y=-2$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x+y=-2-3$$

-5 મેળવવા માટે -2 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x+y=-5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$0.2x-0.6y=1.8,3x+y=-5$$

\frac{x}{5} અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 0.2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 0.2x+3\left(-0.6\right)y=3\times 1.8,0.2\times 3x+0.2y=0.2\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$0.6x-1.8y=5.4,0.6x+0.2y=-1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 0.6x-1.8y=5.4માંથી 0.6x+0.2y=-1 ને ઘટાડો.

$$0.6x-0.6x-1.8y-0.2y=5.4+1$$

-\frac{3x}{5} માં \frac{3x}{5} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{3x}{5} અને -\frac{3x}{5} ને વિભાજિત કરો.

$$-1.8y-0.2y=5.4+1$$

-\frac{y}{5} માં -\frac{9y}{5} ઍડ કરો.

$$-2y=5.4+1$$

1 માં 5.4 ઍડ કરો.

$$-2y=6.4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{16}{5}$$

3x+y=-5માં y માટે -\frac{16}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-\frac{16}{5}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{16}{5} ઍડ કરો.

$$3x=-\frac{9}{5}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{3}{5},y=-\frac{16}{5}$$