{l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x+5y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-5y+1$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

-5y+1 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=5y-1$$

અન્ય સમીકરણ, -2x-5y=11 માં x માટે 5y-1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

5y-1 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+2-5y=11$$

-5y માં -10y ઍડ કરો.

$$-15y+2=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$-15y=9$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=5y-1માં y માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

-\frac{3}{5} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-3-1$$

-3 માં -1 ઍડ કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

-x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

સરળ બનાવો.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-10y=-2માંથી 2x+5y=-11 ને ઘટાડો.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$-10y-5y=-2+11$$

-5y માં -10y ઍડ કરો.

$$-15y=-2+11$$

11 માં -2 ઍડ કરો.

$$-15y=9$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{5}$$

-2x-5y=11માં y માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

-\frac{3}{5} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2x+3=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=8$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$