{l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-6x+5y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$-6x=-5y+1$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1 ને -\frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+4y=-10 માં x માટે \frac{5y-1}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

\frac{5y-1}{6} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y-1+4y=-10$$

4y માં 5y ઍડ કરો.

$$9y-1=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 1 ઍડ કરો.

$$9y=-9$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

-1 ને \frac{5}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{6} માં -\frac{1}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

-6x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -36x+30y=6માંથી -36x-24y=60 ને ઘટાડો.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

36x માં -36x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -36x અને 36x ને વિભાજિત કરો.

$$30y+24y=6-60$$

24y માં 30y ઍડ કરો.

$$54y=6-60$$

-60 માં 6 ઍડ કરો.

$$54y=-54$$

બન્ને બાજુનો 54 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

6x+4y=-10માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

-1 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x-4=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$6x=-6$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=-1$$