{l}{-5a=4a+2b-3}{-b/2a=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=\frac{3}{5}=0.6$$

$$b = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4a ઘટાડો.

$$-5a-4a=2b-3$$

-9a ને મેળવવા માટે -5a અને -4a ને એકસાથે કરો.

$$-9a=2b-3$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=-\frac{1}{9}\left(2b-3\right)$$

2b-3 ને -\frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -2a-b=0 માં a માટે -\frac{2b}{9}+\frac{1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}\right)-b=0$$

-\frac{2b}{9}+\frac{1}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{4}{9}b-\frac{2}{3}-b=0$$

-b માં \frac{4b}{9} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{9}b-\frac{2}{3}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{9}b=\frac{2}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{9} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=-\frac{6}{5}$$

a=-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}માં b માટે -\frac{6}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{9} નો -\frac{6}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{4}{15}+\frac{1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{15} માં \frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{3}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4a ઘટાડો.

$$-5a-4a=2b-3$$

-9a ને મેળવવા માટે -5a અને -4a ને એકસાથે કરો.

$$-9a=2b-3$$

બન્ને બાજુથી 2b ઘટાડો.

$$-9a-2b=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ a એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-b=2a$$

બન્ને બાજુથી 2a ઘટાડો.

$$-b-2a=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-9a-2b=-3,-2a-b=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4a ઘટાડો.

$$-5a-4a=2b-3$$

-9a ને મેળવવા માટે -5a અને -4a ને એકસાથે કરો.

$$-9a=2b-3$$

બન્ને બાજુથી 2b ઘટાડો.

$$-9a-2b=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ a એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-b=2a$$

બન્ને બાજુથી 2a ઘટાડો.

$$-b-2a=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-9a-2b=-3,-2a-b=0$$

-9a અને -2a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-9\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-9\left(-2\right)a-9\left(-1\right)b=0$$

સરળ બનાવો.

$$18a+4b=6,18a+9b=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 18a+4b=6માંથી 18a+9b=0 ને ઘટાડો.

$$18a-18a+4b-9b=6$$

-18a માં 18a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 18a અને -18a ને વિભાજિત કરો.

$$4b-9b=6$$

-9b માં 4b ઍડ કરો.

$$-5b=6$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-\frac{6}{5}$$

-2a-b=0માં b માટે -\frac{6}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$-2a-\left(-\frac{6}{5}\right)=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{6}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$-2a=-\frac{6}{5}$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{3}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$