{l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-4x+3y=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$-4x=-3y+13$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

-3y+13 ને -\frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 15x+3y=-6 માં x માટે \frac{3y-13}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

\frac{3y-13}{4} ને 15 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

3y માં \frac{45y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{195}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{57}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=3$$

x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}માં y માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

3 ને \frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{9}{4} માં -\frac{13}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -4x+3y=13માંથી 15x+3y=-6 ને ઘટાડો.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

-3y માં 3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3y અને -3y ને વિભાજિત કરો.

$$-4x-15x=13+6$$

-15x માં -4x ઍડ કરો.

$$-19x=13+6$$

6 માં 13 ઍડ કરો.

$$-19x=19$$

બન્ને બાજુનો -19 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

15x+3y=-6માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

-1 ને 15 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-15+3y=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 15 ઍડ કરો.

$$3y=9$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=3$$