{l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=1$$

$$b=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4a ઘટાડો.

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a ને મેળવવા માટે -3a અને -4a ને એકસાથે કરો.

$$-7a=2b-3$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

2b-3 ને -\frac{1}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

અન્ય સમીકરણ, -2a-b=0 માં a માટે \frac{-2b+3}{7} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

\frac{-2b+3}{7} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

-b માં \frac{4b}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{6}{7} ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{3}{7} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=-2$$

a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}માં b માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

-2 ને -\frac{2}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{7} માં \frac{3}{7} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=1,b=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4a ઘટાડો.

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a ને મેળવવા માટે -3a અને -4a ને એકસાથે કરો.

$$-7a=2b-3$$

બન્ને બાજુથી 2b ઘટાડો.

$$-7a-2b=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ a એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-b=2a$$

બન્ને બાજુથી 2a ઘટાડો.

$$-b-2a=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=1,b=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4a ઘટાડો.

$$-3a-4a=2b-3$$

-7a ને મેળવવા માટે -3a અને -4a ને એકસાથે કરો.

$$-7a=2b-3$$

બન્ને બાજુથી 2b ઘટાડો.

$$-7a-2b=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ a એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2a સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-b=2a$$

બન્ને બાજુથી 2a ઘટાડો.

$$-b-2a=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

-7a અને -2a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

સરળ બનાવો.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 14a+4b=6માંથી 14a+7b=0 ને ઘટાડો.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

-14a માં 14a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 14a અને -14a ને વિભાજિત કરો.

$$4b-7b=6$$

-7b માં 4b ઍડ કરો.

$$-3b=6$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-2$$

-2a-b=0માં b માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$-2a=-2$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=1,b=-2$$