{l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -x-y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4 સાથે y-x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y ને મેળવવા માટે y અને -4y ને એકસાથે કરો.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 મેળવવા માટે -1 સાથે -1 નો ગુણાકાર કરો.

$$x-3y+4x=8$$

5x ને મેળવવા માટે x અને 4x ને એકસાથે કરો.

$$5x-3y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5મેળવવા માટે -1 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 મેળવવા માટે 5 માંથી 5 ને ઘટાડો.

$$3x+2y=20$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x-3y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$5x=3y+8$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

3y+8 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+2y=20 માં x માટે \frac{3y+8}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

\frac{3y+8}{5} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

2y માં \frac{9y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{24}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{19}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=4$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

4 ને \frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{12}{5} માં \frac{8}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -x-y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4 સાથે y-x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y ને મેળવવા માટે y અને -4y ને એકસાથે કરો.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 મેળવવા માટે -1 સાથે -1 નો ગુણાકાર કરો.

$$x-3y+4x=8$$

5x ને મેળવવા માટે x અને 4x ને એકસાથે કરો.

$$5x-3y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5મેળવવા માટે -1 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 મેળવવા માટે 5 માંથી 5 ને ઘટાડો.

$$3x+2y=20$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -x-y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4 સાથે y-x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

-3y ને મેળવવા માટે y અને -4y ને એકસાથે કરો.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

1 મેળવવા માટે -1 સાથે -1 નો ગુણાકાર કરો.

$$x-3y+4x=8$$

5x ને મેળવવા માટે x અને 4x ને એકસાથે કરો.

$$5x-3y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 સાથે y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

5મેળવવા માટે -1 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3x+5+2y-5=20$$

0 મેળવવા માટે 5 માંથી 5 ને ઘટાડો.

$$3x+2y=20$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

5x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

સરળ બનાવો.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x-9y=24માંથી 15x+10y=100 ને ઘટાડો.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$-9y-10y=24-100$$

-10y માં -9y ઍડ કરો.

$$-19y=24-100$$

-100 માં 24 ઍડ કરો.

$$-19y=-76$$

બન્ને બાજુનો -19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

3x+2y=20માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+2\times 4=20$$

4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+8=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$3x=12$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=4$$