{l}{(x-y)-(6x+8y)=-(10x+5y+3)}{(x+y)-(9y-11x)=2y-2x} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - y ) - ( 6 x + 8 y ) = - ( 10 x + 5 y + 3 ) } \\ { ( x + y ) - ( 9 y - 11 x ) = 2 y - 2 x } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 6x+8y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x-y-6x-8y=-\left(10x+5y+3\right)$$

-5x ને મેળવવા માટે x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-5x-y-8y=-\left(10x+5y+3\right)$$

-9y ને મેળવવા માટે -y અને -8y ને એકસાથે કરો.

$$-5x-9y=-\left(10x+5y+3\right)$$

10x+5y+3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$-5x-9y=-10x-5y-3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10x ઍડ કરો.

$$-5x-9y+10x=-5y-3$$

5x ને મેળવવા માટે -5x અને 10x ને એકસાથે કરો.

$$5x-9y=-5y-3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5y ઍડ કરો.

$$5x-9y+5y=-3$$

-4y ને મેળવવા માટે -9y અને 5y ને એકસાથે કરો.

$$5x-4y=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 9y-11x નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x+y-9y+11x=2y-2x$$

-8y ને મેળવવા માટે y અને -9y ને એકસાથે કરો.

$$x-8y+11x=2y-2x$$

12x ને મેળવવા માટે x અને 11x ને એકસાથે કરો.

$$12x-8y=2y-2x$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$12x-8y-2y=-2x$$

-10y ને મેળવવા માટે -8y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$12x-10y=-2x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2x ઍડ કરો.

$$12x-10y+2x=0$$

14x ને મેળવવા માટે 12x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$14x-10y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x-4y=-3,14x-10y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x-4y=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$5x=4y-3$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

4y-3 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, 14x-10y=0 માં x માટે \frac{4y-3}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$14\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-10y=0$$

\frac{4y-3}{5} ને 14 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{56}{5}y-\frac{42}{5}-10y=0$$

-10y માં \frac{56y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{6}{5}y-\frac{42}{5}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{42}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{6}{5}y=\frac{42}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{6}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=7$$

x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

7 ને \frac{4}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{28}{5} માં -\frac{3}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=7$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 6x+8y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x-y-6x-8y=-\left(10x+5y+3\right)$$

-5x ને મેળવવા માટે x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-5x-y-8y=-\left(10x+5y+3\right)$$

-9y ને મેળવવા માટે -y અને -8y ને એકસાથે કરો.

$$-5x-9y=-\left(10x+5y+3\right)$$

10x+5y+3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$-5x-9y=-10x-5y-3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10x ઍડ કરો.

$$-5x-9y+10x=-5y-3$$

5x ને મેળવવા માટે -5x અને 10x ને એકસાથે કરો.

$$5x-9y=-5y-3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5y ઍડ કરો.

$$5x-9y+5y=-3$$

-4y ને મેળવવા માટે -9y અને 5y ને એકસાથે કરો.

$$5x-4y=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 9y-11x નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x+y-9y+11x=2y-2x$$

-8y ને મેળવવા માટે y અને -9y ને એકસાથે કરો.

$$x-8y+11x=2y-2x$$

12x ને મેળવવા માટે x અને 11x ને એકસાથે કરો.

$$12x-8y=2y-2x$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$12x-8y-2y=-2x$$

-10y ને મેળવવા માટે -8y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$12x-10y=-2x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2x ઍડ કરો.

$$12x-10y+2x=0$$

14x ને મેળવવા માટે 12x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$14x-10y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x-4y=-3,14x-10y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\14&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{5\left(-10\right)-\left(-4\times 14\right)}&-\frac{-4}{5\left(-10\right)-\left(-4\times 14\right)}\\-\frac{14}{5\left(-10\right)-\left(-4\times 14\right)}&\frac{5}{5\left(-10\right)-\left(-4\times 14\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{7}{3}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)\\-\frac{7}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=7$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 6x+8y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x-y-6x-8y=-\left(10x+5y+3\right)$$

-5x ને મેળવવા માટે x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-5x-y-8y=-\left(10x+5y+3\right)$$

-9y ને મેળવવા માટે -y અને -8y ને એકસાથે કરો.

$$-5x-9y=-\left(10x+5y+3\right)$$

10x+5y+3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$-5x-9y=-10x-5y-3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 10x ઍડ કરો.

$$-5x-9y+10x=-5y-3$$

5x ને મેળવવા માટે -5x અને 10x ને એકસાથે કરો.

$$5x-9y=-5y-3$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5y ઍડ કરો.

$$5x-9y+5y=-3$$

-4y ને મેળવવા માટે -9y અને 5y ને એકસાથે કરો.

$$5x-4y=-3$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 9y-11x નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x+y-9y+11x=2y-2x$$

-8y ને મેળવવા માટે y અને -9y ને એકસાથે કરો.

$$x-8y+11x=2y-2x$$

12x ને મેળવવા માટે x અને 11x ને એકસાથે કરો.

$$12x-8y=2y-2x$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$12x-8y-2y=-2x$$

-10y ને મેળવવા માટે -8y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$12x-10y=-2x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2x ઍડ કરો.

$$12x-10y+2x=0$$

14x ને મેળવવા માટે 12x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$14x-10y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x-4y=-3,14x-10y=0$$

5x અને 14x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 14 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$14\times 5x+14\left(-4\right)y=14\left(-3\right),5\times 14x+5\left(-10\right)y=0$$

સરળ બનાવો.

$$70x-56y=-42,70x-50y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 70x-56y=-42માંથી 70x-50y=0 ને ઘટાડો.

$$70x-70x-56y+50y=-42$$

-70x માં 70x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 70x અને -70x ને વિભાજિત કરો.

$$-56y+50y=-42$$

50y માં -56y ઍડ કરો.

$$-6y=-42$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

14x-10y=0માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$14x-10\times 7=0$$

7 ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$14x-70=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 70 ઍડ કરો.

$$14x=70$$

બન્ને બાજુનો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=7$$