{l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. \left(x-2\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 સાથે x-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x ને મેળવવા માટે -4x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right) ગણતરી કરો. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. વર્ગ 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 મેળવવા માટે 1 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

બન્ને બાજુથી x^{2} ઘટાડો.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 ને મેળવવા માટે x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$-6x+4+4y=-8$$

બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 મેળવવા માટે -8 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$-6x+4y=-12$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-6x+4y=-12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$-6x=-4y-12$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

-4y-12 ને -\frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+y=4 માં x માટે \frac{2y}{3}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

\frac{2y}{3}+2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{7}{3}y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=0$$

x=\frac{2}{3}y+2માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=0$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. \left(x-2\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 સાથે x-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x ને મેળવવા માટે -4x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right) ગણતરી કરો. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. વર્ગ 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 મેળવવા માટે 1 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

બન્ને બાજુથી x^{2} ઘટાડો.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 ને મેળવવા માટે x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$-6x+4+4y=-8$$

બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 મેળવવા માટે -8 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$-6x+4y=-12$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=0$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. \left(x-2\right)^{2} ને વિસ્તૃત કરવા માટે દ્વિપદી પ્રમેય \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} નો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-2 સાથે x-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-6x ને મેળવવા માટે -4x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right) ગણતરી કરો. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારને વર્ગોના તફાવતમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. વર્ગ 3.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2} નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

-8 મેળવવા માટે 1 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

બન્ને બાજુથી x^{2} ઘટાડો.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

0 ને મેળવવા માટે x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$-6x+4+4y=-8$$

બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો.

$$-6x+4y=-8-4$$

-12 મેળવવા માટે -8 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$-6x+4y=-12$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

-6x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

સરળ બનાવો.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -12x+8y=-24માંથી -12x-6y=-24 ને ઘટાડો.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

12x માં -12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -12x અને 12x ને વિભાજિત કરો.

$$8y+6y=-24+24$$

6y માં 8y ઍડ કરો.

$$14y=-24+24$$

24 માં -24 ઍડ કરો.

$$14y=0$$

બન્ને બાજુનો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=0$$

2x+y=4માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x=4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=0$$