{l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7y ને મેળવવા માટે -2y અને -5y ને એકસાથે કરો.

$$2x-7y=10x-10$$

બન્ને બાજુથી 10x ઘટાડો.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8x ને મેળવવા માટે 2x અને -10x ને એકસાથે કરો.

$$-8x-7y=-10$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

3 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+3y+6=6$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$2x+3y=6-6$$

0 મેળવવા માટે 6 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$2x+3y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-8x-7y=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 7y ઍડ કરો.

$$-8x=7y-10$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

7y-10 ને -\frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+3y=0 માં x માટે -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

-\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

3y માં -\frac{7y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{5}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-2$$

x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

-2 ને -\frac{7}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{4} માં \frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7y ને મેળવવા માટે -2y અને -5y ને એકસાથે કરો.

$$2x-7y=10x-10$$

બન્ને બાજુથી 10x ઘટાડો.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8x ને મેળવવા માટે 2x અને -10x ને એકસાથે કરો.

$$-8x-7y=-10$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

3 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+3y+6=6$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$2x+3y=6-6$$

0 મેળવવા માટે 6 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$2x+3y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

2 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7y ને મેળવવા માટે -2y અને -5y ને એકસાથે કરો.

$$2x-7y=10x-10$$

બન્ને બાજુથી 10x ઘટાડો.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8x ને મેળવવા માટે 2x અને -10x ને એકસાથે કરો.

$$-8x-7y=-10$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

3 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+3y+6=6$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો.

$$2x+3y=6-6$$

0 મેળવવા માટે 6 માંથી 6 ને ઘટાડો.

$$2x+3y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

-8x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

સરળ બનાવો.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -16x-14y=-20માંથી -16x-24y=0 ને ઘટાડો.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

16x માં -16x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -16x અને 16x ને વિભાજિત કરો.

$$-14y+24y=-20$$

24y માં -14y ઍડ કરો.

$$10y=-20$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

2x+3y=0માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

-2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x-6=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$2x=6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=-2$$