{l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y ને મેળવવા માટે -3y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$3x-5y=6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x+\frac{1}{2}y મેળવવા માટે 2x+y ની દરેક ટર્મનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-5y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$3x=5y+6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

5y+6 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, x-\frac{1}{2}y=0 માં x માટે \frac{5y}{3}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

-\frac{y}{2} માં \frac{5y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{7}{6}y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{12}{7}$$

x=\frac{5}{3}y+2માં y માટે -\frac{12}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{3} નો -\frac{12}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

-\frac{20}{7} માં 2 ઍડ કરો.

$$x=-\frac{6}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y ને મેળવવા માટે -3y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$3x-5y=6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x+\frac{1}{2}y મેળવવા માટે 2x+y ની દરેક ટર્મનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 સાથે x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y ને મેળવવા માટે -3y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$3x-5y=6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x+\frac{1}{2}y મેળવવા માટે 2x+y ની દરેક ટર્મનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y ને મેળવવા માટે \frac{1}{2}y અને -y ને એકસાથે કરો.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

સરળ બનાવો.

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-5y=6માંથી 3x-\frac{3}{2}y=0 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

\frac{3y}{2} માં -5y ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{2}y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{7}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{12}{7}$$

x-\frac{1}{2}y=0માં y માટે -\frac{12}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો -\frac{12}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x+\frac{6}{7}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{6}{7} નો ઘટાડો કરો.

$$x=-\frac{6}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$