{l}{x/60+y/30=6*5}{x/50+y/40=6} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 60 } + \frac { y } { 30 } = 6 \cdot 5 } \\ { \frac { x } { 50 } + \frac { y } { 40 } = 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-2200$$

$$y=2000$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{y}{30} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{60}x=-\frac{1}{30}y+30$$

બન્ને બાજુનો 60 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=60\left(-\frac{1}{30}y+30\right)$$

-\frac{y}{30}+30 ને 60 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2y+1800$$

અન્ય સમીકરણ, \frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6 માં x માટે -2y+1800 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{50}\left(-2y+1800\right)+\frac{1}{40}y=6$$

-2y+1800 ને \frac{1}{50} વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{25}y+36+\frac{1}{40}y=6$$

\frac{y}{40} માં -\frac{y}{25} ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{200}y+36=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 36 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{3}{200}y=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{3}{200} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2000$$

x=-2y+1800માં y માટે 2000 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\times 2000+1800$$

2000 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-4000+1800$$

-4000 માં 1800 ઍડ કરો.

$$x=-2200$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-2200,y=2000$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{60}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{50}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}&-\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}\\-\frac{\frac{1}{50}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}&\frac{\frac{1}{60}}{\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}-\frac{1}{30}\times \frac{1}{50}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100&\frac{400}{3}\\80&-\frac{200}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100\times 30+\frac{400}{3}\times 6\\80\times 30-\frac{200}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2200\\2000\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-2200,y=2000$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{1}{60}x+\frac{1}{30}y=30,\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6$$

\frac{x}{60} અને \frac{x}{50} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો \frac{1}{50} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{1}{60} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{50}\times \frac{1}{60}x+\frac{1}{50}\times \frac{1}{30}y=\frac{1}{50}\times 30,\frac{1}{60}\times \frac{1}{50}x+\frac{1}{60}\times \frac{1}{40}y=\frac{1}{60}\times 6$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y=\frac{3}{5},\frac{1}{3000}x+\frac{1}{2400}y=\frac{1}{10}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y=\frac{3}{5}માંથી \frac{1}{3000}x+\frac{1}{2400}y=\frac{1}{10} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{3000}x-\frac{1}{3000}x+\frac{1}{1500}y-\frac{1}{2400}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

-\frac{x}{3000} માં \frac{x}{3000} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{x}{3000} અને -\frac{x}{3000} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{1}{1500}y-\frac{1}{2400}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

-\frac{y}{2400} માં \frac{y}{1500} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{4000}y=\frac{3}{5}-\frac{1}{10}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{1}{10} માં \frac{3}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$\frac{1}{4000}y=\frac{1}{2}$$

બન્ને બાજુનો 4000 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=2000$$

\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}y=6માં y માટે 2000 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{50}x+\frac{1}{40}\times 2000=6$$

2000 ને \frac{1}{40} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{50}x+50=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 50 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{50}x=-44$$

બન્ને બાજુનો 50 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=-2200$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-2200,y=2000$$