{l}{x/3+y/4=-7/12}{x/2+frac{y}{3}=-frac{1}{6}} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=11$$

$$y=-17$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{y}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)$$

-\frac{y}{4}-\frac{7}{12} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6} માં x માટે \frac{-3y-7}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

\frac{-3y-7}{4} ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

\frac{y}{3} માં -\frac{3y}{8} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{7}{8} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}$$

બન્ને બાજુનો -24 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-17$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}માં y માટે -17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}$$

-17 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{51-7}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{51}{4} માં -\frac{7}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=-17$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=11,y=-17$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

\frac{x}{3} અને \frac{x}{2} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો \frac{1}{2} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{1}{3} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24}માંથી \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

-\frac{x}{6} માં \frac{x}{6} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{x}{6} અને -\frac{x}{6} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

-\frac{y}{9} માં \frac{y}{8} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{18} માં -\frac{7}{24} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}$$

બન્ને બાજુનો 72 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-17$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}માં y માટે -17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}$$

-17 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{17}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=-17$$