{l}{x/3+y/4=2x-y/2-2-2y/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 x - y } { 2 } - \frac { 2 - 2 y } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4,2,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

6 સાથે 2x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

-2 સાથે 2-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

-2y ને મેળવવા માટે -6y અને 4y ને એકસાથે કરો.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

બન્ને બાજુથી 12x ઘટાડો.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

-8x ને મેળવવા માટે 4x અને -12x ને એકસાથે કરો.

$$-8x+3y=-2y-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$-8x+3y+2y=-4$$

5y ને મેળવવા માટે 3y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$-8x+5y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2,4,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 સાથે 2x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 સાથે y-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y ને મેળવવા માટે 4y અને -10y ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 સાથે x+y-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 સાથે y-x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y ને મેળવવા માટે 5y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x ને મેળવવા માટે 5x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13મેળવવા માટે -15 અને 2 ને ઍડ કરો.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

બન્ને બાજુથી 7x ઘટાડો.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x ને મેળવવા માટે 8x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$x-6y+20=3y-13$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y ને મેળવવા માટે -6y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-9y+20=-13$$

બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો.

$$x-9y=-13-20$$

-33 મેળવવા માટે -13 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$x-9y=-33$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-8x+5y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$-8x=-5y-4$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-5y-4\right)$$

-5y-4 ને -\frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, x-9y=-33 માં x માટે \frac{5y}{8}+\frac{1}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}-9y=-33$$

-9y માં \frac{5y}{8} ઍડ કરો.

$$-\frac{67}{8}y+\frac{1}{2}=-33$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{67}{8}y=-\frac{67}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{67}{8} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=4$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{8}\times 4+\frac{1}{2}$$

4 ને \frac{5}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{2} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4,2,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

6 સાથે 2x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

-2 સાથે 2-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

-2y ને મેળવવા માટે -6y અને 4y ને એકસાથે કરો.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

બન્ને બાજુથી 12x ઘટાડો.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

-8x ને મેળવવા માટે 4x અને -12x ને એકસાથે કરો.

$$-8x+3y=-2y-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$-8x+3y+2y=-4$$

5y ને મેળવવા માટે 3y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$-8x+5y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2,4,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 સાથે 2x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 સાથે y-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y ને મેળવવા માટે 4y અને -10y ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 સાથે x+y-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 સાથે y-x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y ને મેળવવા માટે 5y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x ને મેળવવા માટે 5x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13મેળવવા માટે -15 અને 2 ને ઍડ કરો.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

બન્ને બાજુથી 7x ઘટાડો.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x ને મેળવવા માટે 8x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$x-6y+20=3y-13$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y ને મેળવવા માટે -6y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-9y+20=-13$$

બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો.

$$x-9y=-13-20$$

-33 મેળવવા માટે -13 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$x-9y=-33$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{5}{-8\left(-9\right)-5}\\-\frac{1}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}&-\frac{5}{67}\\-\frac{1}{67}&-\frac{8}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}\left(-4\right)-\frac{5}{67}\left(-33\right)\\-\frac{1}{67}\left(-4\right)-\frac{8}{67}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4,2,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

6 સાથે 2x-y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

-2 સાથે 2-2y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

-2y ને મેળવવા માટે -6y અને 4y ને એકસાથે કરો.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

બન્ને બાજુથી 12x ઘટાડો.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

-8x ને મેળવવા માટે 4x અને -12x ને એકસાથે કરો.

$$-8x+3y=-2y-4$$

બંને સાઇડ્સ માટે 2y ઍડ કરો.

$$-8x+3y+2y=-4$$

5y ને મેળવવા માટે 3y અને 2y ને એકસાથે કરો.

$$-8x+5y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2,4,10 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

4 સાથે 2x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-10 સાથે y-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

-6y ને મેળવવા માટે 4y અને -10y ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

5 સાથે x+y-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

-2 સાથે y-x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

3y ને મેળવવા માટે 5y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

7x ને મેળવવા માટે 5x અને 2x ને એકસાથે કરો.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

-13મેળવવા માટે -15 અને 2 ને ઍડ કરો.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

બન્ને બાજુથી 7x ઘટાડો.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

x ને મેળવવા માટે 8x અને -7x ને એકસાથે કરો.

$$x-6y+20=3y-13$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-6y+20-3y=-13$$

-9y ને મેળવવા માટે -6y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-9y+20=-13$$

બન્ને બાજુથી 20 ઘટાડો.

$$x-9y=-13-20$$

-33 મેળવવા માટે -13 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$x-9y=-33$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

-8x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-8x+5y=-4,-8x-8\left(-9\right)y=-8\left(-33\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-8x+5y=-4,-8x+72y=264$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -8x+5y=-4માંથી -8x+72y=264 ને ઘટાડો.

$$-8x+8x+5y-72y=-4-264$$

8x માં -8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -8x અને 8x ને વિભાજિત કરો.

$$5y-72y=-4-264$$

-72y માં 5y ઍડ કરો.

$$-67y=-4-264$$

-264 માં -4 ઍડ કરો.

$$-67y=-268$$

બન્ને બાજુનો -67 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

x-9y=-33માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-9\times 4=-33$$

4 ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-36=-33$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 36 ઍડ કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=4$$