{l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 4 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી my ઘટાડો.

$$x-my=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે x+\left(-m\right)y=1 ને ઉકેલો.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \left(-m\right)y નો ઘટાડો કરો.

$$x=my+1$$

અન્ય સમીકરણ, 2y^{2}+x^{2}=4 માં x માટે my+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

વર્ગ my+1.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

m^{2}y^{2} માં 2y^{2} ઍડ કરો.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 2+1m^{2} ને, b માટે 1\times 1\times 2m ને, અને c માટે -3 ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

વર્ગ 1\times 1\times 2m.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2+1m^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-3 ને -8-4m^{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+12m^{2} માં 4m^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2+1m^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

હવે y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 2\sqrt{6+4m^{2}} માં -2m ઍડ કરો.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} નો 4+2m^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

હવે y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -2m માંથી 2\sqrt{6+4m^{2}} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} નો 4+2m^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} અને -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=my+1 માં y માટે \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

1 માં m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ઍડ કરો.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

હવે સમીકરણ x=my+1 માં -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ને m વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

1 માં m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) ઍડ કરો.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$