{l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=0$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y ને મેળવવા માટે y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-2y+2=6$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$x-2y=6-2$$

4 મેળવવા માટે 6 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$x-2y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 મેળવવા માટે 2 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$3x+4y=6x-8$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x ને મેળવવા માટે 3x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-3x+4y=-8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-2y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$x=2y+4$$

અન્ય સમીકરણ, -3x+4y=-8 માં x માટે 4+2y નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

4+2y ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6y-12+4y=-8$$

4y માં -6y ઍડ કરો.

$$-2y-12=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 12 ઍડ કરો.

$$-2y=4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

x=2y+4માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

-2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-4+4$$

-4 માં 4 ઍડ કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y ને મેળવવા માટે y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-2y+2=6$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$x-2y=6-2$$

4 મેળવવા માટે 6 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$x-2y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 મેળવવા માટે 2 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$3x+4y=6x-8$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x ને મેળવવા માટે 3x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-3x+4y=-8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=0,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x+y+2-3y=6$$

-2y ને મેળવવા માટે y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$x-2y+2=6$$

બન્ને બાજુથી 2 ઘટાડો.

$$x-2y=6-2$$

4 મેળવવા માટે 6 માંથી 2 ને ઘટાડો.

$$x-2y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

4 મેળવવા માટે 2 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$3x+4y=6x-8$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$3x+4y-6x=-8$$

-3x ને મેળવવા માટે 3x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-3x+4y=-8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

સરળ બનાવો.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3x+6y=-12માંથી -3x+4y=-8 ને ઘટાડો.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

3x માં -3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3x અને 3x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-4y=-12+8$$

-4y માં 6y ઍડ કરો.

$$2y=-12+8$$

8 માં -12 ઍડ કરો.

$$2y=-4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

-3x+4y=-8માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

-2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x-8=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$-3x=0$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-2$$