{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -5,0 મૂલ્યમાંના કોઈપણ સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો y\left(y+5\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+5,y ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 સાથે x+7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

બન્ને બાજુથી yx ઘટાડો.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 ને મેળવવા માટે yx અને -yx ને એકસાથે કરો.

$$2y=7y+5x+35$$

બન્ને બાજુથી 7y ઘટાડો.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y ને મેળવવા માટે 2y અને -7y ને એકસાથે કરો.

$$-5y=5x+35$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

35+5x ને -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-x-7$$

અન્ય સમીકરણ, -4y+2x=-1 માં y માટે -x-7 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-x-7 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+28+2x=-1$$

2x માં 4x ઍડ કરો.

$$6x+28=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 28 નો ઘટાડો કરો.

$$6x=-29$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7માં x માટે -\frac{29}{6} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-\frac{29}{6} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

\frac{29}{6} માં -7 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{13}{6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -5,0 મૂલ્યમાંના કોઈપણ સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો y\left(y+5\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+5,y ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 સાથે x+7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

બન્ને બાજુથી yx ઘટાડો.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 ને મેળવવા માટે yx અને -yx ને એકસાથે કરો.

$$2y=7y+5x+35$$

બન્ને બાજુથી 7y ઘટાડો.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y ને મેળવવા માટે 2y અને -7y ને એકસાથે કરો.

$$-5y=5x+35$$

બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$-5y-5x=35$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -5,0 મૂલ્યમાંના કોઈપણ સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો y\left(y+5\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+5,y ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 સાથે x+7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

બન્ને બાજુથી yx ઘટાડો.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 ને મેળવવા માટે yx અને -yx ને એકસાથે કરો.

$$2y=7y+5x+35$$

બન્ને બાજુથી 7y ઘટાડો.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y ને મેળવવા માટે 2y અને -7y ને એકસાથે કરો.

$$-5y=5x+35$$

બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$-5y-5x=35$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y અને -4y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 20y+20x=-140માંથી 20y-10x=5 ને ઘટાડો.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

-20y માં 20y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 20y અને -20y ને વિભાજિત કરો.

$$20x+10x=-140-5$$

10x માં 20x ઍડ કરો.

$$30x=-140-5$$

-5 માં -140 ઍડ કરો.

$$30x=-145$$

બન્ને બાજુનો 30 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1માં x માટે -\frac{29}{6} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

-\frac{29}{6} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{29}{3} ઍડ કરો.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{13}{6}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$