{l}{7/3x-3/4y=x-2}{2x-y=-4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 7 } { 3 } x - \frac { 3 } { 4 } y = x - 2 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-6$$

$$y=-8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

\frac{4}{3}x ને મેળવવા માટે \frac{7}{3}x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}y-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{4}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}y-2\right)$$

\frac{3y}{4}-2 ને \frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-y=-4 માં x માટે \frac{9y}{16}-\frac{3}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}\right)-y=-4$$

\frac{9y}{16}-\frac{3}{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{8}y-3-y=-4$$

-y માં \frac{9y}{8} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{8}y-3=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$\frac{1}{8}y=-1$$

બન્ને બાજુનો 8 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-8$$

x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}માં y માટે -8 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{9}{16}\left(-8\right)-\frac{3}{2}$$

-8 ને \frac{9}{16} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-9-3}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{2} માં -\frac{3}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-6,y=-8$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

\frac{4}{3}x ને મેળવવા માટે \frac{7}{3}x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\\-\frac{2}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{9}{2}\\-12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\left(-2\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\\-12\left(-2\right)+8\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-6,y=-8$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

\frac{4}{3}x ને મેળવવા માટે \frac{7}{3}x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

\frac{4x}{3} અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{4}{3} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times \frac{4}{3}x+2\left(-\frac{3}{4}\right)y=2\left(-2\right),\frac{4}{3}\times 2x+\frac{4}{3}\left(-1\right)y=\frac{4}{3}\left(-4\right)$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4,\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4માંથી \frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3} ને ઘટાડો.

$$\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}$$

-\frac{8x}{3} માં \frac{8x}{3} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{8x}{3} અને -\frac{8x}{3} ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}$$

\frac{4y}{3} માં -\frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{6}y=-4+\frac{16}{3}$$

\frac{16}{3} માં -4 ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{6}y=\frac{4}{3}$$

બન્ને બાજુનો -6 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-8$$

2x-y=-4માં y માટે -8 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-\left(-8\right)=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-12$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-6$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-6,y=-8$$