{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 40 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,10,8 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 મેળવવા માટે 10 સાથે 5 નો ગુણાકાર કરો.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 મેળવવા માટે -4 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 મેળવવા માટે -150 માંથી 12 ને ઘટાડો.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 સાથે x+y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 મેળવવા માટે 4 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 સાથે -3-7x-7y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 35x ઍડ કરો.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x ને મેળવવા માટે 50x અને 35x ને એકસાથે કરો.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 35y ઍડ કરો.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y ને મેળવવા માટે -24y અને 35y ને એકસાથે કરો.

$$85x-162+11y=-15$$

બંને સાઇડ્સ માટે 162 ઍડ કરો.

$$85x+11y=-15+162$$

147મેળવવા માટે -15 અને 162 ને ઍડ કરો.

$$85x+11y=147$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -5 સાથે 2y-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-10y+35=21$$

બન્ને બાજુથી 35 ઘટાડો.

$$6x-10y=21-35$$

-14 મેળવવા માટે 21 માંથી 35 ને ઘટાડો.

$$6x-10y=-14$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$85x+11y=147$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 11y નો ઘટાડો કરો.

$$85x=-11y+147$$

બન્ને બાજુનો 85 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

-11y+147 ને \frac{1}{85} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x-10y=-14 માં x માટે \frac{-11y+147}{85} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

\frac{-11y+147}{85} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-10y માં -\frac{66y}{85} ઍડ કરો.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{882}{85} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{916}{85} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}માં y માટે \frac{518}{229} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{11}{85} નો \frac{518}{229} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5698}{19465} માં \frac{147}{85} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{329}{229}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 40 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,10,8 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 મેળવવા માટે 10 સાથે 5 નો ગુણાકાર કરો.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 મેળવવા માટે -4 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 મેળવવા માટે -150 માંથી 12 ને ઘટાડો.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 સાથે x+y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 મેળવવા માટે 4 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 સાથે -3-7x-7y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 35x ઍડ કરો.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x ને મેળવવા માટે 50x અને 35x ને એકસાથે કરો.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 35y ઍડ કરો.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y ને મેળવવા માટે -24y અને 35y ને એકસાથે કરો.

$$85x-162+11y=-15$$

બંને સાઇડ્સ માટે 162 ઍડ કરો.

$$85x+11y=-15+162$$

147મેળવવા માટે -15 અને 162 ને ઍડ કરો.

$$85x+11y=147$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -5 સાથે 2y-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-10y+35=21$$

બન્ને બાજુથી 35 ઘટાડો.

$$6x-10y=21-35$$

-14 મેળવવા માટે 21 માંથી 35 ને ઘટાડો.

$$6x-10y=-14$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 40 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,10,8 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 મેળવવા માટે 10 સાથે 5 નો ગુણાકાર કરો.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50 સાથે x-3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 મેળવવા માટે -4 સાથે 3 નો ગુણાકાર કરો.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162 મેળવવા માટે -150 માંથી 12 ને ઘટાડો.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7 સાથે x+y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3 મેળવવા માટે 4 માંથી 7 ને ઘટાડો.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5 સાથે -3-7x-7y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 35x ઍડ કરો.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85x ને મેળવવા માટે 50x અને 35x ને એકસાથે કરો.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 35y ઍડ કરો.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11y ને મેળવવા માટે -24y અને 35y ને એકસાથે કરો.

$$85x-162+11y=-15$$

બંને સાઇડ્સ માટે 162 ઍડ કરો.

$$85x+11y=-15+162$$

147મેળવવા માટે -15 અને 162 ને ઍડ કરો.

$$85x+11y=147$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. -5 સાથે 2y-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-10y+35=21$$

બન્ને બાજુથી 35 ઘટાડો.

$$6x-10y=21-35$$

-14 મેળવવા માટે 21 માંથી 35 ને ઘટાડો.

$$6x-10y=-14$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 85 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

સરળ બનાવો.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 510x+66y=882માંથી 510x-850y=-1190 ને ઘટાડો.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

-510x માં 510x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 510x અને -510x ને વિભાજિત કરો.

$$66y+850y=882+1190$$

850y માં 66y ઍડ કરો.

$$916y=882+1190$$

1190 માં 882 ઍડ કરો.

$$916y=2072$$

બન્ને બાજુનો 916 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14માં y માટે \frac{518}{229} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

\frac{518}{229} ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5180}{229} ઍડ કરો.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{329}{229}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$