\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.
x, y માટે ઉકેલો
x=3
y=1
ગ્રાફ
શેર કરો
ક્લિપબોર્ડ પર કૉપિ કરી
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
3 સાથે 3x-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
9x-21-4y-2=0
-2 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
9x-23-4y=0
-23 મેળવવા માટે -21 માંથી 2 ને ઘટાડો.
9x-4y=23
બંને સાઇડ્સ માટે 23 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
3 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
3x+6-25y-20=-30
-5 સાથે 5y+4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
3x-14-25y=-30
-14 મેળવવા માટે 6 માંથી 20 ને ઘટાડો.
3x-25y=-30+14
બંને સાઇડ્સ માટે 14 ઍડ કરો.
3x-25y=-16
-16મેળવવા માટે -30 અને 14 ને ઍડ કરો.
9x-4y=23,3x-25y=-16
પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.
9x-4y=23
એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.
9x=4y+23
સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.
x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)
બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.
x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}
4y+23 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.
3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16
અન્ય સમીકરણ, 3x-25y=-16 માં x માટે \frac{4y+23}{9} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.
\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16
\frac{4y+23}{9} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.
-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16
-25y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.
-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}
સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{23}{3} નો ઘટાડો કરો.
y=1
સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{71}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.
x=\frac{4+23}{9}
x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.
x=3
સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{9} માં \frac{23}{9} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.
x=3,y=1
સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
3 સાથે 3x-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
9x-21-4y-2=0
-2 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
9x-23-4y=0
-23 મેળવવા માટે -21 માંથી 2 ને ઘટાડો.
9x-4y=23
બંને સાઇડ્સ માટે 23 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
3 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
3x+6-25y-20=-30
-5 સાથે 5y+4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
3x-14-25y=-30
-14 મેળવવા માટે 6 માંથી 20 ને ઘટાડો.
3x-25y=-30+14
બંને સાઇડ્સ માટે 14 ઍડ કરો.
3x-25y=-16
-16મેળવવા માટે -30 અને 14 ને ઍડ કરો.
9x-4y=23,3x-25y=-16
સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.
\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.
inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)
અંકગણિતીય કરો.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)
મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)
અંકગણિતીય કરો.
x=3,y=1
મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.
3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0
પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
9x-21-2\left(2y+1\right)=0
3 સાથે 3x-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
9x-21-4y-2=0
-2 સાથે 2y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
9x-23-4y=0
-23 મેળવવા માટે -21 માંથી 2 ને ઘટાડો.
9x-4y=23
બંને સાઇડ્સ માટે 23 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.
3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30
બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.
3x+6-5\left(5y+4\right)=-30
3 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
3x+6-25y-20=-30
-5 સાથે 5y+4 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.
3x-14-25y=-30
-14 મેળવવા માટે 6 માંથી 20 ને ઘટાડો.
3x-25y=-30+14
બંને સાઇડ્સ માટે 14 ઍડ કરો.
3x-25y=-16
-16મેળવવા માટે -30 અને 14 ને ઍડ કરો.
9x-4y=23,3x-25y=-16
બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.
3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)
9x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.
27x-12y=69,27x-225y=-144
સરળ બનાવો.
27x-27x-12y+225y=69+144
બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 27x-12y=69માંથી 27x-225y=-144 ને ઘટાડો.
-12y+225y=69+144
-27x માં 27x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 27x અને -27x ને વિભાજિત કરો.
213y=69+144
225y માં -12y ઍડ કરો.
213y=213
144 માં 69 ઍડ કરો.
y=1
બન્ને બાજુનો 213 થી ભાગાકાર કરો.
3x-25=-16
3x-25y=-16માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.
3x=9
સમીકરણની બન્ને બાજુ 25 ઍડ કરો.
x=3
બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.
x=3,y=1
સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.
ઉદાહરણો
દ્વિઘાત સમીકરણ
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ત્રિકોણમિતિ
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
રેખીય સમીકરણ
y = 3x + 4
અંકગણિત
699 * 533
મેટ્રિક્સ
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
યુગપત્ સમીકરણ
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
ડિફરેન્શિએશન
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ઇન્ટિગ્રેશન
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
લિમિટ્સ
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}