{l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3 સાથે 3x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

-2 સાથે 4y-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-3-8y+14=12$$

11મેળવવા માટે -3 અને 14 ને ઍડ કરો.

$$9x+11-8y=12$$

બન્ને બાજુથી 11 ઘટાડો.

$$9x-8y=12-11$$

1 મેળવવા માટે 12 માંથી 11 ને ઘટાડો.

$$9x-8y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6,12 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3 સાથે 3y-6 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

-2 સાથે 5-x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28 મેળવવા માટે -18 માંથી 10 ને ઘટાડો.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12 મેળવવા માટે 1 સાથે 12 નો ગુણાકાર કરો.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17મેળવવા માટે 12 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$9y-28+2x=-17$$

બંને સાઇડ્સ માટે 28 ઍડ કરો.

$$9y+2x=-17+28$$

11મેળવવા માટે -17 અને 28 ને ઍડ કરો.

$$9y+2x=11$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$9x-8y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8y ઍડ કરો.

$$9x=8y+1$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

8y+1 ને \frac{1}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+9y=11 માં x માટે \frac{8y+1}{9} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

\frac{8y+1}{9} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

9y માં \frac{16y}{9} ઍડ કરો.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{2}{9} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{97}{9} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{8}{9} માં \frac{1}{9} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3 સાથે 3x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

-2 સાથે 4y-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-3-8y+14=12$$

11મેળવવા માટે -3 અને 14 ને ઍડ કરો.

$$9x+11-8y=12$$

બન્ને બાજુથી 11 ઘટાડો.

$$9x-8y=12-11$$

1 મેળવવા માટે 12 માંથી 11 ને ઘટાડો.

$$9x-8y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6,12 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3 સાથે 3y-6 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

-2 સાથે 5-x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28 મેળવવા માટે -18 માંથી 10 ને ઘટાડો.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12 મેળવવા માટે 1 સાથે 12 નો ગુણાકાર કરો.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17મેળવવા માટે 12 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$9y-28+2x=-17$$

બંને સાઇડ્સ માટે 28 ઍડ કરો.

$$9y+2x=-17+28$$

11મેળવવા માટે -17 અને 28 ને ઍડ કરો.

$$9y+2x=11$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3 સાથે 3x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

-2 સાથે 4y-7 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-3-8y+14=12$$

11મેળવવા માટે -3 અને 14 ને ઍડ કરો.

$$9x+11-8y=12$$

બન્ને બાજુથી 11 ઘટાડો.

$$9x-8y=12-11$$

1 મેળવવા માટે 12 માંથી 11 ને ઘટાડો.

$$9x-8y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,6,12 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3 સાથે 3y-6 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

-2 સાથે 5-x નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28 મેળવવા માટે -18 માંથી 10 ને ઘટાડો.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12 મેળવવા માટે 1 સાથે 12 નો ગુણાકાર કરો.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17મેળવવા માટે 12 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$9y-28+2x=-17$$

બંને સાઇડ્સ માટે 28 ઍડ કરો.

$$9y+2x=-17+28$$

11મેળવવા માટે -17 અને 28 ને ઍડ કરો.

$$9y+2x=11$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

9x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

સરળ બનાવો.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 18x-16y=2માંથી 18x+81y=99 ને ઘટાડો.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

-18x માં 18x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 18x અને -18x ને વિભાજિત કરો.

$$-16y-81y=2-99$$

-81y માં -16y ઍડ કરો.

$$-97y=2-99$$

-99 માં 2 ઍડ કરો.

$$-97y=-97$$

બન્ને બાજુનો -97 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

2x+9y=11માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+9=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$2x=2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=1$$