{l}{3/4x+y=-2}{4/5y+x=2-x/2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + y = - 2 } \\ { \frac { 4 } { 5 } y + x = 2 - \frac { x } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=-5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$8y+10x=20-5x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5x ઍડ કરો.

$$8y+10x+5x=20$$

15x ને મેળવવા માટે 10x અને 5x ને એકસાથે કરો.

$$8y+15x=20$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{3}{4}x+y=-2,15x+8y=20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$\frac{3}{4}x+y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{3}{4}x=-y-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{4}{3}\left(-y-2\right)$$

-y-2 ને \frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 15x+8y=20 માં x માટે \frac{-4y-8}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15\left(-\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}\right)+8y=20$$

\frac{-4y-8}{3} ને 15 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-20y-40+8y=20$$

8y માં -20y ઍડ કરો.

$$-12y-40=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 40 ઍડ કરો.

$$-12y=60$$

બન્ને બાજુનો -12 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-5$$

x=-\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}માં y માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)-\frac{8}{3}$$

-5 ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{20-8}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{20}{3} માં -\frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=-5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$8y+10x=20-5x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5x ઍડ કરો.

$$8y+10x+5x=20$$

15x ને મેળવવા માટે 10x અને 5x ને એકસાથે કરો.

$$8y+15x=20$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{3}{4}x+y=-2,15x+8y=20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&1\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{\frac{3}{4}\times 8-15}&-\frac{1}{\frac{3}{4}\times 8-15}\\-\frac{15}{\frac{3}{4}\times 8-15}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times 8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9}\left(-2\right)+\frac{1}{9}\times 20\\\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=-5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 10 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$8y+10x=20-5x$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5x ઍડ કરો.

$$8y+10x+5x=20$$

15x ને મેળવવા માટે 10x અને 5x ને એકસાથે કરો.

$$8y+15x=20$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{3}{4}x+y=-2,15x+8y=20$$

\frac{3x}{4} અને 15x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 15 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{3}{4} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$15\times \frac{3}{4}x+15y=15\left(-2\right),\frac{3}{4}\times 15x+\frac{3}{4}\times 8y=\frac{3}{4}\times 20$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{45}{4}x+15y=-30,\frac{45}{4}x+6y=15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{45}{4}x+15y=-30માંથી \frac{45}{4}x+6y=15 ને ઘટાડો.

$$\frac{45}{4}x-\frac{45}{4}x+15y-6y=-30-15$$

-\frac{45x}{4} માં \frac{45x}{4} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{45x}{4} અને -\frac{45x}{4} ને વિભાજિત કરો.

$$15y-6y=-30-15$$

-6y માં 15y ઍડ કરો.

$$9y=-30-15$$

-15 માં -30 ઍડ કરો.

$$9y=-45$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-5$$

15x+8y=20માં y માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$15x+8\left(-5\right)=20$$

-5 ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$15x-40=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 40 ઍડ કરો.

$$15x=60$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=-5$$